Makalah: Bangun Ruang Sisi Datar dan Lengkung

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.   Latar Belakang

Bangun ruang merupakan salah satu komponen matematika yang perlu dipelajari untuk menetapkan konsep keruangan. Maka dalam pelajaran Matematika perlu diberikan topik pembelajaran ini kepada semua peserta didik sejak berada di jenjang sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berfikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama.

Kompetensi tersebut sangatlah perlu sebagai dasar dari peserta didik untuk mengembangkan kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi dalam kehidupan sehari-hari. Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang definisi, unsur-unsur, ciri-ciri, sifat-sifat, dan macam-macam bentuk bangun ruang.

B.   Rumusan Masalah

1. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat, luas, dan volum dari kubus?
2. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat, luas, dan volum dari balok?
3. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat, luas, dan volum dari tabung?
4. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat, luas, dan volum dari bola?
5. Apa definisi serta bagaimana unsur-unsur, ciri-ciri, sifat, luas, dan volum dari kerucut?

C.   Tujuan

Bagi para dosen, khususnya dosen matematika, makalah ini hendaknya dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam mengelola dan merancang proses belajar mengajar yang mudah di mengerti mahasiswa. Dan bagi mahasiswa agar dapat menjadi motivator bagi mahasiswa lain untuk mengembangkan peneliti lebih luas sehingga dapat bermanfaat bagi  pengembangan pembelajaran matematika di dunia pendidikan. Dan bagi orang awam, agar dapat mengetahui, memahami serta mendalami tentang definisi, unsur-unsur, ciri-ciri, sifat-sifat, dan macam-macam bentuk bangun ruang.

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

A.   Kubus

1.    Definisi Kubus

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Sisi pada kubus sepasang-sepasang berhadapan satu sisi dinamakan bidang alas atau dasar. Sedangkan sisi yang berhadapan dengan alas dinamakan bidang atas atau tutup. Sisi-sisi yang lainya di namakan sisi tegak atau dinding. Pertemuan dua sisi beruparuas garis dinamakan rusuk.rusuk-rusukbidang atas dinamakan rusuk atas, rusuk-rusuk bidang bawah dinamakan rusuk bawah. Sedangkan rusuk-rusuk yang lainnya dinamakan rusuk-rusuk tegak.

Gambar 1. Kubus ABCD EFGH dengan Diagonal Sisi

Pertemuan 3 rusuk dinamakan titk sudut atau pojok kubus. Ada 8 sudut sepasang-pasang berhadapan. Diagonal suatu sisi kubus dinamakan diagonal sisi. Dua titik sudut yang berhadapan dalam kubus yang dihubungkan dengan garis à garis tersebut disebut diagonal ruang. Sebagai ilustrasi diagonal AG.

2.    Unsur-unsur kubus

Adapun unsur-unsur kubus adalah:

1. Sisi/bidang
   Sisi kubus adalah bidang datar yang membatasi kubus. Banyaknya sisi yang dimiliki oleh kubus berdasarkan Gambar 2 adalah enam sisi, yaitu:
   1. sisi alas (ABCD)
   2. sisi depan (ABEF)
   3. sisi atas (EFGH)
   4. sisi belakang (CDGH)
   5. sisi kiri (ADEH)
   6. sisi kanan ( BCFG )
    
2. Rusuk
   Rusuk kubus adalah garis potong antara 2 sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Berdasarkan Gambar 2, Kubus ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk, yaitu:
   1. Rusuk Alas : AB, BC, CD, AD
   2. Rusuk Tegak : AE, BF, CG, DH
   3. Rusuk Atas : EF, FG, GH, EH
3. Titik sudut
   Titik sudut kubus adalah titik potong antara 2 rusuk. Kubus ABCD EFGH memiliki 8 buah titik sudut yaitu sudut A, B, C, D, E, F, G, dan sudut H.
4. Diagonal bidang
   Diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan titik A dan F yang saling berhadapan dalam satu sisi atau bidang.
5. Diagonal ruang
   Pada kubus ABCD.EFGH terdapat ruas garis HB yang menghubungkan 2 titik sudut yang saling berhadapan dalam 1 ruang, ruas garis tersebut dinamakan diagonal ruang.
6. Bidang diagonal
   Pada gambar 1 terdapat 2 buah diagonal bidang yaitu AC dan GE. Diagonal AC dan GE beserta 2 rusuk sejajar yaitu AE dan CG membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang ACGE pada kubus ABCD. Bidang ACGE disebut sebagai bidang diagonal.

3.    Sifat-sifat Kubus

Adapun sifat-sifat kubus adalah sebagai berikut:

1. Semua sisi kubus berbentuk persegi.
2. Sisi ABCD, EFGH, ABFE, dan seterusnya memiliki bentuk persegi dan memiliki luas yang sama.
3. Semua rusuk kubus berukuran sama panjang.
4. Setiap digonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang.
5. Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang.
6. Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi panjang
    
   

Gambar 2. Kubus ABCD EFGH dengan Diagonal Bidang

Keterangan gambar:

• BDHF disebut bidang diagonal
• Ruas garis HF disebut diagonal sisi
• ABCD adalah sisi bawah/ dasar/ alas
• EF GH adalah sisi atas/ tutup
• BC GF sisi tegak

4.    Luas Permukaan Kubus

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 satuan

Luas BCGF = s x s
= s² Luas Permukaan Kubus ABCD.EFGH
= 6 x Luas BCGF
= 6.s²

Luas Permukaan Kubus dengan panjang sisi s satuan adalah 6.s2 satuan luas

Contoh Soal:

Soal 1. Hitung Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 7 cm !

Jawab :

Luas permukaan kubus = 6 x s²
= 6 x 72
= 6 x 49
= 294 cm²
Soal 2. Hitung Luas permukaan kubus jika luas salah satu sisinya 10 cm² !
Jawab:

Luas salah satu sisi = 10
s² = 10
Luas permukaan kubus = 6 x s²
= 6 x 10²
= 6 x 100
= 600 cm²

Soal 3. Luas permukaan kubus adalah 600 cm². Hitung panjang rusuk kubus tersebut !
Jawab:

Luas permukaan kubus = 6 x s² 600 = 6 x s²

s² = 600/6

s² = 100

s = 10 cm

 

5.    Volum Kubus

Kubus ABCD dengan panjang rusuk s satuan

Luas Alas ABCD = sisi x sisi
= s x s
= s² Volum Kubus = Luas Alas ABCD x tinggi
= s² x s
= s³

Volum Kubus dengan panjang sisi s satuan adalah s3 satuan volum.

Contoh Soal:

Soal 1. Hitung Volum kubus yang mempunyai rusuk 9 cm !

Jawab:

Volum = s³ = 9³ = 729 cm³.

 

Soal 2. Hitung Volum kubus jika luas salah satu sisinya 9 cm² !

Jawab : Luas salah satu sisi = 9
s² = 9
s = 3 cm

Volum = s³ = 3³ = 27 cm³ 

 

Soal 3. Volum sebuah kubus adalah 125 cm³. Hitung panjang rusuk kubus tersebut !

Jawab : Volum = s³

125 = s³

5³ = s³

s = 5 cm

 

B.   BALOK

1.    Definisi Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibentuk oleh tiga pasang persegi panjang dimana tiap pasang persegi panjang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dan persegipanjang yang sehadap adalah kongruen. Tiga pasang persegi panjang inilah disebut sisi-sisi balok. Berikut adalah gambar balokcABCD.EFGH.

Gambar 3. Balok ABCD EFGH

 

2.    Unsur-unsur Balok

Sama halnya dengan kubus, balok juga memiliki unsur-unsur sebagai berikut:

a. Sisi/Bidang

Sisi balok adalah bidang yang membatasi suatu balok. Balok ABCD.EFGH memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi panjang yaitu sisi bawah = ABCD, sisi atas = EFGH, sisi depan = ABFE, sisi belakang = DCGH, sisi samping kanan = ADHE , dan sisi samping kiri = BCGF.

Keenam sisi balok diatas saling berpasangan sehingga membentuk 3 pasang sisi yang saling berhadapan yang sama bentuk dan besarnya yaitu ABFE berpasangan dengan DCGH, ABCD dengan EFGH, dan BCGF dengan ADHE.

b. Rusuk

Garis potong sisi-sisi pada blok dinamakan rusuk. Balok ABCD.EFGH memiliki 12 rusuk yaitu AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan HD.

 

c. Titik Sudut

Titik temu antara tiga buah rusuk pada balok disebut titik sudut balok. Balok ABCD.EFGH memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.

d. Diagonal sisi/bidang

Garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada sisi balok disebut diagonal sisi/bidang. Terdapat 12 buah diagonal sisi pada balok ABCD.EFGH yaitu AC, BD, EG, HF, AF, BE, CH, DG, AH, DE, BG, CF.

e. Diagonal Ruang

Ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang saling berhadapan di dalam balok disebut diagonal ruang. Terdapat 4 buah diagonal ruang pada balok ABCD.EFGH yaitu AG, BH, CE,dan AF. Keempat diagonal ruang ini saling berpotongan ditengah-tengah.

f. Bidang Diagonal

Bidang yang dibentuk oleh dua buah diagonal bidang yang sejajar dan dua buah rusuk balok yang saling sejajar disebut bidang diagonal. Terdapat 6 buah bidang diagonal pada balok ABCD.EFGH yaitu ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, BCHE.

 

3.    Sifat-sifat Balok

Balok memiliki sifat-sifat sebagai berikut

a. Setiap sisi balok berbentuk persegi panjang.

b. Setiap rusuk-rusuk yang sejajar memiliki ukuran sama panjang.

c. Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.

d. Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.

e. Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegi panjang.

4.    Luas Permukaan Balok

Untuk  mengetahui luas permukaan digunakan rumus, misalnya balok ABCD.EFGH.

Luas Permukaan balok ABCD.EFGH = 2 Luas ABCD + 2 Luas ABFE + 2 Luas ADHE

= 2 pl + 2 pt + 2 lt

Jadi, luas permukaan kubus dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Luas permukaan balok = 2(pl + lt + pt)

5.    Volum Balok

Untuk mencari volume sebuah balok digunakan rumus V= Luas alas x tinggi. Misalkan untuk menghitung volume balok ABCD.EFGH, dimana Luas alas balok = p x l.

Sehingga diperoleh

Volum balok = Luas alas balok x tinggi = p x l x t

Jadi, volume balok dapat dinyatakan sebagai berikut.

Volum Balok = p x l x t

Contoh Soal

1. Diketahui sebuah balok memiliki ukuran seperti gambar di bawah ini.

AB = p = 10 cm

BC = l = 3 cm

CG = t = 4 cm

Tentukan:           a. volume balok.

b. luas permukaan balok,

Penyelasaian :

a. Volume Balok ABCD.EFGH   = p x l x t

= 10 cm x 3 cm x 4 xm

= 120 cm³

b. Luas permukaan balok ABCD.EFGH   = 2(pl + lt + pt)

= 2 (10 . 3 + 3 . 4 + 10 . 4)

= 2 (30 + 12 + 40)

= 2 . 82

= 164 cm²

C.   TABUNG

1.    Definisi Tabung

Tabung adalah bangun ruang sisi lengkung yang alas dan tutupnya berupa lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan r. Gambar dibawah ini menunjukkan sebuah tabung yang terbentuk dari sebuah segi empat ABCD yang diputar terhadap sumbu AD sejauh 360⁰, atau satu putaran penuh.

Gambar 4. Tabung

 

2.    Unsur-unsur Tabung

Adapun unsur-unsur tabung adalah:

1. Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.
2. Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.
3. Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB. Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d.
4. Selimut tabung merupakan bidang lengkung.
    

3.    Sifat-sifat Tabung

Sifat-sifat tabung adalah:

1. Bidang alas dan bidang atas merupakan lingkaran dengan jari-jari yang sama.
2. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dan titik pusat lingkaran atas.

4.    Luas Selimut Tabung

Dari sebuah tabung jika dibelah, diperoleh 2 buah lingkaran dan sebuah selimut tabung. Luas dari sebuah lingkaran =  πr².  Karena unsur tabung memiliki 2 buah lingkaran maka diperoleh:

Luas seluruh lingkaran = 2 x luas lingkaran

                          = 2 x  πr²

Jadi luas selimut tabung =  2πr x t

Contoh soal:

        Sebuah tabung mempunyai jari-jari lingkaran atas 7 cm, sedangkan tingginya 10 cm, tentukan luas selimut tabung tersebut.

Jawab :

Diketahui r = 7 cm

                 t = 10 cm

luas selimut tabung   = 2πr x t

                        = 2π x 7 cmx 10 cm

                        = 140π cm²

Jadi luas selimut tabung = 140π cm²

 

5.    Volum Tabung

Volume tabung  adalah luas alas di kali tinggi. Jika jari-jari tabung adalah r dan tingginya adalah t, maka volume tabung dapat ditentukan sebagai berikut

V = luas alas x tinggi

V =  π r² t

Contoh Soal:

Hitunglah volume tabung yang memiliki jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 40 cm dengan nilai π = 3,14!

Penyelesaian

Volume tabung = πr²t

 = 3,14 x15²x 40

 = 3,14 x 225 x 40

 = 28260 cm³

Jadi, volume tabung tersebut adalah 28260 cm³.

 

D.   BOLA

1.    Definisi Bola

Bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berberjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360^o pada garis tengahnya.

2.    Sifat-sifat Bola

Adapun unsur-unsur yang dimiliki bola adalah:

1. Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat
2. Sisi bola disebut dinding bola
3. Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk
4. Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari
5. Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat disebut diameter
    

Gambar 5. Bola

3.    Luas Permukaan Bola

Cara menghitung luas permukaan bola adalah:

Luas Bola = 4π r²

4.    Volum Bola

Cara menghitung volum bola adalah:

Volum Bola = ⁴/₃ π r³ 
π  = 3,14 atau 22/7

Contoh Soal

Sebuah bola dengan jari-jari sebesar 30 cm seperti pada gambar berikut. 

Tentukanlah:
a) volume bola
b) luas permukaan bola

Jawab:
a) volume bola
Rumus volum bola # V = ⁴/₃ π r³
V = ⁴/₃ x 3,14 x 30 x 30 x 30
V = 113 040 cm³
b) luas permukaan bola
rumus luas permukaan bola L = 4π r² L = 4 x 3,14 x 30 x 30
L = 11 304 cm²

E.    KERUCUT

1.    Definisi Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi alas berbentuk lingkaran dan sebuah sisi lengkung.

2.       Unsur-unsur Kerucut

Unsur-unsur yang dimiliki kerucut adalah sebagai berikut:

Gambar 6. Kerucut

1. Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat.

2. t disebut tinggi kerucut.

3. Jari-jari lingkaran alas, yaitu r dan diameternya adalah 2r.

4. Sisi miring s disebut apotema atau garis pelukis.

5. Selimut kerucut berupa bidang lengkung.

3.    Sifat-sifat Kerucut

Sifat yang dimiliki bangun ruang kerucut adalah:

• Mempunyai sisi tegak yang disebut selimut
• Punya satu buah sisi berbentuk lingkaran
• Volume di dapat dari perkalian luas lingkaran alas dengan tinggi tabung dan faktro pengali 1/3
• Luas selimut phi r S dengan s adalah di dapat dari pythagoras jari-jari dengan tinggi tabung
   

4.    Luas Selimut Kerucut

Adapun luas selimut kerucut = luas juring PQQ' = πrs.

Telah diketahui bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas selimut kerucut dan lingkaran alas sehingga luas sisi kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Luas sisi kerucut = luas selimut kerucut + luas lingkaran alas

                          = πrs + πr2

                          = πr(s + r)

Untuk setiap kerucut dengan panjang garis pelukiss dan jari-jari alas kerucut r berlaku rumus berikut.

Luas selimut kerucut = πrs

Luas sisi kerucut = πr (r + s)

 

5.    Volum Kerucut

Volum kerucut = 1/3 x luas alas x tinggi

= 1/3  π r²  t

= 1/3 π r² t

Contoh Soal

Sebuah kerucut mempunyai panjang jari-jari alasnya 6 cm dan tingginya 8 cm. Hitunglah luas sisi kerucut tersebut ( π = 3,14).

Jawab :

Jari-jari alas = r = 6cm

Tinggi kerucut = t = 8 cm

                      s2 = r2 + t2

                      s2 = 62+ 82 = 36 + 64 = 100

                       s =√100 = 10

Luas sisi kerucut = πr(r + s)

                          = 3,14 x 6 x (6 + 10) = 3,14 x 6 x l6 = 301,44

Jadi. luas sisi kerucut adalah 301,44 cm2